有“高手”说，考试新人，考矩阵求逆就够了。这么“高深”的东西，我怎么能懂呢。我是只知道点积和叉积的。这个话恐怕也说满了，点积和叉积，我也不能说我就知道了。我只知道了一点点。

关于矩阵求逆，我们知道求逆的定义，就是求 M^-1= I / M。对于的矩阵，不过是 16 个线性联立方程，有16个未知数，这个只是体力活，就算你未尝先把公式背下来，硬算也是初中生可解的问题，并且这个只是代数问题，跟几何没有关系。而点积和叉积则不同，点积和叉积是 3D 解析几何，3D 图形学的数学基础，如何让扁平的代数立体起来，靠的就是这个。大多数引擎程序员会自认为自己很了解点积和叉积。但是实际上据我观察，却不是这样。99%的人没搞懂这个。

我们的教科书，倾向于直接把结果含糊不清的告诉学生，而没有把其中的过程，思辨教给学生，而这个反而是精华。我说他们含糊不清，已经是个很轻的说法。实际上，我发现我们的教科书，采用循环定义，想当然的推理的地方很多。我尝试用一种不同的途径来讲述这个。你看了之后，可能会更明白了，哦，原来是这样。但是很有可能 (或者说是更有可能) 是更迷糊了。很多你认为理所当然的东西一下子朦胧了起来。

我们从最简单的开始。老王是卖白菜的，他问，一斤白菜 2 块钱，请问 3 斤白菜多少钱？虽然你家里不是卖白菜的，我想你也能得出答案，6 块钱。我如果问为什么呢？因为 2*3 = 6。如果我问为什么 2*3 = 6 呢？这个就有点难度了。九九乘法表里就是这样的，我们从小就背下来了。其实很简单，乘法是加法的简化写法，2*3 等于 3 个 2 相加，所以 2*3 = 2+2+2=6。那为什么 2+2+2=6 呢？这就很难答上来了。如果你孩子问你，你会跟他搬指头。搬指头是没错的，但是如果是 20，200，2000， 你恐怕就没这么多指头可以搬(蜈蚣除外)。

要解答这个问题，其实是没有可能的。我们要搬出公理，公理，就是公认的道理，不证自明的道理，其实就是没有办法证明的道理。我们前面说的，其实是自然数，或者说，我们叫它自然数，因为它很“自然而然”。关于自然数，我们有皮亚诺公理来描述这个问题。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 1 是自然数；
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数 a’ ，a’  也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3，等等）；
3. 如果自然数 b、c 的后继数都是自然数 a，那么 b = c；
4. 1 不是任何自然数的后继数；
5. 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数 n 为真时，可以证明它对 n’  也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理保证了数学归纳法的正确性)

皮亚诺公理里的第 2 项所谓的后继，其实定义了加法，后继，就是搬一个指头，就是 +1 的得到的数。后继的后继，就是 + 1 + 1。我们知道 1 的后继那个数，我们写作 2，意思就是 1 + 1 = 2。所以加法就是多次搬指头的简写。

a+b 定义为 a 后面第 b 个后继，也就是 a 之后再搬 b 次指头。

我们先证明证明加法结合律：

首先证明 c=1 时上式成立， (a+b)+1 是 (a+b) 的后继，而 a+b 是 a 后的第 b 个后继，那么 a+(b+1) 也就是 (a+b) 的后继。所以

公式1：

成立。

假设 c=m 时成立，我们证明 c=m+1 时也成立。

如果

公式2：

成立，

那么 根据公式1有

根据公式2有

再根据公式1(用了两次公式1)

证毕。

加法交换律也可以用归纳法类似的证明。

那么 等于多少呢？。

等于多少呢？按上面的方法，不难证明 。

但是写起来太难看了，如果你买100斤白菜，那岂不是要写老长？我们定义一个新的简写方法，a多次累加b次，我们写成。乘法就是多次加法的简写。就得到 。

乘法也可以证明符合结合律和交换律。证明就不写了。自己可以去试试。

另外，对于一个自然数，乘以1等于多少呢？这个很容易理解，还是等于自身。一斤白菜2块钱，你买一斤，当然还是2块钱。所以我们有：

公式3:

卖白菜是件很高深的工作，跟掏粪不相上下，也需要大学生才能搞定。老王大学毕业后，卖白菜卖的很有心得。有个问题，今天进了100斤白菜的货，卖出了85斤，问，还剩多少斤呢？

所以我们要定义一个搬指头的逆运算，反向扳指头，先拿出100根指头，然后拿掉85个指头，这个运算我们叫减法，减法是加法的逆运算。

如果卖了100斤呢？你发现啥都没剩下。这时候我们定义一个新的数 0，表示没有，空。0算不算自然数，有的领域倾向于算是，比如集合论和计算机科学里。有的领域一般不算，比如数论。数论里面算0，很多东西就不好搞了。比如0算不算偶数？算不算质数？不好搞。我们不讨论这个。卖白菜虽然高深，但是也没到要去证明哥德巴赫猜想的地步。

所以，卖完100斤后，老王今天收入了200块钱。老王的白菜生意做得很好，又很有信誉，所以，白菜供应商可以让老王先拿货，后付款。第二天老王又拿了100斤白菜，但是挂了帐，拿货价是1元每斤（白菜的利润没这么高，否则就不是叫白菜，但是我们还没学过实数，所以暂时这么定）。结果这天生意不好，大家都喜欢吃点好的(豆腐就不错)，只卖掉了30斤，老王今天收入多少钱呢？

要还供应商100块，这个帐一算，老王亏了40块。如何计帐这个亏了的40块钱(统计局不叫这个叫亏损，叫赤字，老王收入下降也不是下降，叫负增长)，我们扩展自然数支持这个记法，叫负数。-1就是0前继，-40就是0往前数40。

我们不难得到，0-40 = -40，0-n=-n;

负整数乘以正整数是正整数还是负整数呢。当然是负整数。我欠你10块钱，是-10。如果是欠10倍的10块钱，当然是 –100。如果是正数就麻烦了，你要倒找我钱。即, 假设a, b是正整数：

负整数乘以负整数是负整数还是正整数呢？

假设a, b是正整数，那么

显然结果为正整数。

我们初步从一无所有开始，得到了整数的概念和一些基本的运算。后面我们要进入实数和几何，然后接近点积和叉积。

Ubuntu 9.10 下如果你出现了 Firefox 字体始终发虚(启动了ClearType)，并且在“外观”里修改而 Firefox 始终发虚(其他程序正常)，如这个案例：

    Ubuntu中文论坛 • 查看主题 – ubuntu 9.10下firefox 3.5 的字体平滑方式如何解决？

那么你可以这样做：

sudo rm /etc/fonts/conf.d/10*
sudo dpkg-reconfigure fontconfig

重启 Firefox 就好了。

为了满足“翻Wall”的需要，在国外的 Linux主机上或 VPS 上建个可 ssh登录的用户，使用 ssh 的 Tunnel 来作代理是十分常见的方法。

但是主人往往又想最小化用户权限，以避免对系统造成影响。最简单的办法就是，禁止用户登录。

其实 ssh 可以连接到 sshd 但是不执行远程命令（默认是启动用户设定的 shell ），使用 -N 参数即可。

在服务器上建一个 username ：

$ useradd -s /bin/false username

将用户的 shell 设置成 /bin/false。这样用户就无法与系统进行交互。设置密码：

$ passwd username

补充一下：对已有帐号禁止其shell交互使用：

$ usermod -s /bin/false username

小技巧：

也可以使用 /usr/bin/passwd 作为用户的 shell ，这样用户就可以通过登录而来自主修改密码。需要注意的是，需要将 /usr/bin/passwd 这一行写进 /etc/shells 文件。

sshd 认证通后之后，会检查设定的 shell 是否登记在 /etc/shells 文件中，若已经登记，则 fork自己，然后 fork 出来的子进程再 exec 设定的 shell 。而 ssh 的 -N 参数，则是告诉 sshd 不需要执行 shell。

建立Tunnel：

$ ssh -D 1080 -qfnN username@hostname

输入密码即可使用（也可以用key认证）。

Windows的话，可以使用 plink.exe 或者 MyEnTunnel（MyEnTunnel 本质上也是使用 plink.exe 来建立Tunnel）。

此时账号 username 可以通过 sshd 的认证使用 TcpForwarding ，但是不能运行 shell，不能与系统交互。刚好可以用来为朋友提供国外的代理翻Wall。

参数详解：
-D 1080 建立动态Tunnel，监听在本地1080端口。
-q 安静模式。
-f ssh在后台运行，即认证之后，ssh退居后台。
-n 将 stdio 重定向到 /dev/null，与-f配合使用。
-N 不运行远程程序。即通知 sshd 不运行设定的 shell。

source: http://www.bsdmap.com/2010/02/22/create-tunnel-user/

总是有无聊的人来扫描 ssh 的密码，看看 /var/log/auth.log 就可以看到。为了安全, 可以用 fail2ban 来保护, 这个软件会自动屏蔽一段时间错误尝试的 ip。直接从源里安装：

$ apt-get install fail2ban

就行了。

我用的时候碰到了奇怪的问题，发现这个软件不能发挥功用，经过检查，原来是我因为我设定了新的服务器时区。设定服务器时区，在 Ubuntu上 可以用命令：

$ dpkg-reconfigure tzdata

但是系统没有重启，所以 log 系统还是用老时区时间，但是 fail2ban 用的是新时区的时间，而 fail2ban 是靠查 /var/log/auth.log 来判断是否侵入的，所以就无法正常工作。

重新启动之后问题消失。

现在几乎没有不用某种程度的延迟模式渲染，我们经常需要在 GBuffer 里保存 Z 信息，然后可以反算出视点坐标系或者世界坐标系的坐标。如果你直接保存 ViewSpace 的 Z，那没有这篇所说的问题。但是保存 ViewSpace Z，需要 DepthBuffer 之外的地方来保存。有的引擎直接用 Hardware ZBuffer，OpenGL 上这个并不难实现，D3D 上需要些 Tricks，要用 vendor 提供的特殊的 FOURCC 格式，比如 nVidia 的 RAWZ、INTZ，ATi 的 DF16、DF24，好像最新的 ATi 显卡也支持 INTZ 了。

由 ZBuffer Z 得到 ViewSpace Z 是件很简单的事情，我们先看 Direct3D 和 OpenGL 上的变换矩阵：

OpenGL:

D3D:

OpenGL 的投影变换矩阵变换后，z 的值在 [-1, 1] 范围，而 D3D 的值在 [0, 1] 范围。新手混淆不清的是，OpenGL 的 z 实际上是在 [1, -1]，因为他的右手坐标系，z 是指向你的眼睛的，所以，远的地方 z 值反而较小，以至于为负。

但是当你写到硬件 ZBuffer 以后，读出来的时候，无论是 OpenGL 还是 D3D，无论是那个格式(RAWZ, INTZ, DF16, DF24, GL_DEPTH_COMPONENTxx)，都是 [0, 1] 范围，0 是最近点，既是 near plane 的 z，1 是最远点，far plane 的 z。这也是经常让人混淆的东西。因为这个原因，我们可以值用 D3D 的公式来算。

有了这些信息，我们不难推导出求 ViewSpace Z 的公式。

因为：

我们只关心 Z 的值：

根据上两式我们得到：

移动一下位置：

两边乘以

最终得到：

神奇的是，这个公式反而不分 OpenGL 和 D3D 了。这是因为，虽然 OpenGL 和 D3D 的透视变换矩阵虽然不同，定义的 clip space 的 z 也不同，但是，实际上写入物理 zbuf 的值，却是完全一样的，所以一个公式可以搞定。

具体实现上，可以传入 f*n, f, f-n 三个值，以减少 shader 的计算，如果这样的话，HLSL 代码大概是这样的：

// zparam, for recover view space z, Zview = 2*f*n/((f+n)-Zbuf(f-n)), where Zbuf is [-1,1]
// if Zbuf is [0,1], acultly we use, the equation should be
//
//              f * n
// Zview = -------------------
//           f - Zbuf(f-n)
// faster than use matrix multiply, but only for perspective projection
 
struct ZrecoverParam {
    float near, far, farXnear, farSUBnear;
};
 
const ZrecoverParam g_zrecoverParam;
 
// return n~f
float ZR_getViewSpace(float zbuf) {
    return g_zrecoverParam.farXnear / (g_zrecoverParam.far - zbuf * g_zrecoverParam.farXnear);
}
// return 0~1 view space
float ZR_getViewSpaceNormalized(float zbuf) {
    return 1.0 / (zbuf * g_zrecoverParam.far + g_zrecoverParam.farXnear);
}